2027학년도 숭실대학교 대비 실전모의고사 2회 문제집

수학

핵심개념: 합성함수의 성질, 항등 조건, 치역의 제한과 경우의 수

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 1】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]
[가] 집합 \(X\)에서 집합 \(X\)로의 두 함수 \(f, g\)에 대하여 합성함수 \(g \circ f\)는 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)로 정의된다.
[나] 서로 다른 \(n\)개 중에서 순서를 생각하지 않고 \(r\)개를 택하는 조합의 수는 \(\displaystyle\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)이다.

[출처 : 고등학교 수학 「함수」, 「순열과 조합」]

집합 \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 \(f: X \to X\)의 개수를 구하시오.

(가) 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(f(f(x)) = f(x)\)이다.
(나) 함수 \(f\)의 치역 \(A = \{f(x) \mid x \in X\}\)의 원소의 개수는 \(3\)이다.

(단, 치역의 원소들이 만족해야 하는 성질을 논리적으로 밝히고 경우의 수를 구하시오.)

[ 실전 모의고사 2회 문제 1 실전 모의 답안 작성란 - 논리적 서술 과정과 최종 정답을 명확히 작성하시오 ]

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※ 풀이 과정의 수식 전개와 전제 조건을 명확히 기재하십시오.

수학II

핵심개념: 삼차함수의 극값, 절댓값 함수의 미분가능성

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 2】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]
[가] 함수 \(y=|h(x)|\)는 \(h(a)=0\)인 점 \(x=a\)에서 \(h'(a)=0\)이면 미분가능하고, \(h'(a) \neq 0\)이면 꺾인 점(첨점)이 되어 미분가능하지 않다.
[나] 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 도함수 \(f'(x)=0\)이 서로 다른 두 실근을 가지면 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다.

[출처 : 고등학교 수학II 「도함수의 활용」]

상수 \(a\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a\)가 있다.

(1) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 \(a\)에 관한 식으로 각각 나타내시오.
(2) 함수 \(g(x) = |f(x) - 10|\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 오직 \(1\)이 되도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[ 실전 모의고사 2회 문제 2 실전 모의 답안 작성란 - 논리적 서술 과정과 최종 정답을 명확히 작성하시오 ]

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※ 풀이 과정의 수식 전개와 전제 조건을 명확히 기재하십시오.

미적분

핵심개념: 이계도함수, 오목과 볼록, 접선의 방정식, 정적분과 넓이

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 3】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]
[가] 어떤 구간에서 \(f''(x) > 0\)이면 곡선 \(y=f(x)\)는 아래로 볼록(오목)하고, \(f''(x) < 0\)이면 위로 볼록하다.
[나] 두 곡선 \(y=f(x), y=g(x)\) 및 두 직선 \(x=a, x=b\) (\(a < b\))로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)이다.

[출처 : 고등학교 미적분 「도함수의 활용」, 「정적분의 활용」]

정의역이 양의 실수 전체인 함수 \(f(x) = x \ln x\) (\(x > 0\))에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 곡선 \(y=f(x)\)의 오목과 볼록을 판정하고, 곡선 위의 점 \((e, e)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.
(2) 곡선 \(y=f(x)\)와 (1)에서 구한 접선 및 직선 \(x=1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[ 실전 모의고사 2회 문제 3 실전 모의 답안 작성란 - 논리적 서술 과정과 최종 정답을 명확히 작성하시오 ]

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※ 풀이 과정의 수식 전개와 전제 조건을 명확히 기재하십시오.

미적분

핵심개념: 치환적분법, 무리함수를 포함한 정적분의 계산

⏱️ 25분 / 배점 25점

【문제 4】 다음 제시문을 읽고 아래 논제에 답하시오. [배점 25점]

[제시문]
[가] 미분가능한 함수 \(g(x)\)에 대하여 \(x = g(t)\)라 하면 치환적분법 공식은 다음과 같다. \[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt \quad (단, a=g(\alpha), b=g(\beta)) \] [나] 거듭제곱의 부정적분은 \(r \neq -1\)일 때 \(\int t^r\,dt = \frac{1}{r+1}t^{r+1} + C\)이다.

[출처 : 고등학교 미적분 「적분법」]

정적분 \[ I = \int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}\,dx \] 의 값을 제시문에 제시된 치환적분법을 이용하여 구하시오. (단, 치환 변수 설정과 적분 구간의 변화를 명확히 제시하시오.)

[ 실전 모의고사 2회 문제 4 실전 모의 답안 작성란 - 논리적 서술 과정과 최종 정답을 명확히 작성하시오 ]

QUESTIO MOCK EXAM GRID

※ 풀이 과정의 수식 전개와 전제 조건을 명확히 기재하십시오.